Question

16．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）依题意补全图1；
（2）求证；PQ=AD；
（3）判断AH与PH的关系与位置关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，即△ADP≌△BCQ，即可得到DP=CQ，证明CD=PQ，由四边形ABCD为正方形，所以AD=CD，即可得到PQ=AD．
（3）AH=PH，AH⊥PH，连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，

（2）∵平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，
∴△ADP≌△BCQ，
∴DP=CQ，
∵DP+PC=DC，CQ+PC=PQ
∴CD=PQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，
∴PQ=AD．
（3）AH=PH，AH⊥PH，如图2，连接CH，

∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形．
∵DP=CQ，
在△HDP与△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=QH}\\{∠HDP=∠HQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC（SAS），
∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．
∵BD是正方形ABCD的对称轴，
∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°，
∴AH=PH，AH⊥PH．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．