Question

【题目】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与轴的交点A、B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在y轴上存在一点Q,使得△QMB周长最小，求出Q点坐标。

Answer 1

【答案】（1）A(-1，0)B（3，0）（2）P（0，-3），Q（2，-3），Q（ ，3），Q（，3）（3）Q（0，-3）.

【解析】试题分析：（1）把顶点坐标代入函数解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；

（2）设点P到AB的距离为h，利用三角形的面积列式求出h，再分点P在x轴下方和上方两种情况把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可；

（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点M关于y轴的对称点M′，连接BM′与y轴的交点即为所求的点Q，利用待定系数法求出直线BM′的函数解析式，再令x=0求解即可．

(1)∵顶点坐标为M(1,4)，

∴二次函数为y=(x1)24，

令y=0,则(x1)24=0，

解得x1=1,x2=3，

∴A(1,0),B(3,0)；

(2)设点P到AB的距离为h，

∵S△PAB=34S△MAB，

∴ABh=，

解得h=3，

当点P在x轴下方时，点P的纵坐标是3，

∴(x1)24=3，

解得x1=0,x2=2，

此时点P的坐标为(0,3)或(2,3)，

点P在x轴上方时,点P的纵坐标为3,

∴(x1)24=3，

解得x1=+1,x2=+1，

此时点P的坐标为(+1,3)或(+1,3)，

综上所述,点P的坐标为(0,3),(2,3),( +1,3),( +1,3)；

(3)如图,取点M(1,4)关于y轴的对称点M′(1,4)，

连接BM′与y轴的交点即为使得△QMB周长最小的点Q，

设直线BM′的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得，

∴BM′的解析式为y=x3，

令x=0，则y=3，

所以,点Q的坐标为P(0,3).