Question

（1）若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，其中p²-4q≥0，求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）若抛物线y=x²+px+p-2与x轴交于点A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₂＞x₁），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²有最小值？并求出最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根与系数的关系

专题：

分析：（1）先根据求根公式得出x₁、x₂的值，再求出两根的和与积即可；
（2）由d=|x₁-x₂|可知d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4 x₁•x₂=p²，再由（1）中 x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q即可得出结论．

解答：（1）证明：∵方程x²+px+q=0的两个根为x₁=

-p+ p2-4q

2

，x₂=

-p- p2-4q

2

．  
∴x₁+x₂=

-p+ p2-4q

2

+

-p- p2-4q

2

=-p，
x₁•x₂=

-p+ p2-4q

2

×

-p- p2-4q

2

q；

（2）解：由（1）得，x₁+x₂=-p，x₁•x₂=p-2，
∴d2=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4(p-2)，
即d²=p²-4p+8=（p-2）²+4，
∴当p=2时，d²有最小值，最小值为4．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q是解答此题的关键．