Question

15．（1）如图①，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上一点，DE∥BC，连接CD、BE，CD、BE交于点F，连接AF并延长，分别交DE、BC于点H、G．
求证：①$\frac{DH}{BG}$=$\frac{HE}{GC}$；②G是BC的中点．
（2）如图②，只用一把无刻度的直尺画出矩形ABCD的一条对称轴．（不写画法，保留画图痕迹）

Answer 1

分析 （1）①由DE∥BC，得到△ADH∽△ABG和△AHE∽△AGC，即可得到结论；②易证△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，则依据相似三角形的对应边的比相等，可以证得$\frac{CG}{BG}$=$\frac{BG}{GC}$，得到BG=CG，即点G是BC的中点；
（2）①连接AC，BD，两线交于点O₁．②在矩形ABCD外任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H③连接BG，AH，两线交于点O₂．④作直线EO₂，交AB于点M．⑤作直线MO₁．直线MO₁就是矩形ABCD的一条对称轴．

解答 （1）证明：①∵DE∥BC，
∴△ADH∽△ABG，
∴$\frac{DH}{BG}$=$\frac{AH}{AG}$，
同理$\frac{HE}{GC}$=$\frac{AH}{AG}$，
∴$\frac{DH}{BG}$=$\frac{HE}{GC}$；
②∵DE∥BC，
∴△FDH∽△FCG，
∴$\frac{DH}{CG}$=$\frac{FH}{FG}$，同理$\frac{EH}{GB}$=$\frac{FH}{FG}$，
∴$\frac{DH}{CG}$=$\frac{HE}{GB}$，
∴$\frac{DH}{HE}$=$\frac{CG}{BG}$，
由（1）得$\frac{DH}{HE}$=$\frac{BG}{GC}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{BG}{GC}$，
∴BG=CG，即点G是BC的中点；

（2）如图③所示，直线MO₁即为所求．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，通过等量代换得到$\frac{CG}{BG}$=$\frac{BG}{GC}$是做题的关键．