Question

18．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{CE}$，列方程可得结果．

解答 （1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；

（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC=$\sqrt{{BE}^{2}{+CE}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{CE}$，
∴BC²=CD•CE，
∴CD=$\frac{{5}^{2}}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴OC=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{25}{8}$，
∴⊙O的半径=$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．