Question

如图，正方形ABCD的顶点A坐标是（1，0），过顶点C的直线y=

4

3

x-

8

3

交x轴于E．
（1）求正方形的边长；
（2）若P是y轴上一点，当PC+PE的值最小时，求P点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设点C的坐标为（a，

4

3

a-

8

3

），则可得OB，根据正方形的四边相等，可得关于a的方程，解出a的值，即可得出正方形的边长；
（2）找点E关于y轴的对称点E′，连接CE′，则CE′与y轴交点，即是点P点的位置，求出CE′解析式，可得点P的坐标．

解答：解：（1）由题意得直线CE解析式为：y=

4

3

x-

8

3

，
令y=0，可得x=2，
则点E的坐标为（2，0），
设点C的坐标为（a，

4

3

a-

8

3

），
则AB=OB-OA=a-1，CB=

4

3

a-

8

3

，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴a-1=

4

3

a-

8

3

，
解得：a=5，
则四边形ABCD的边长为4．

（2）找点E关于y轴的对称点E'，连接CE'，则CE'与y轴交点，即是点P点的位置，
点E'坐标为（-2，0），
设CE'解析式为y=kx+b，
将点C、E'坐标代入，可得

-2k+b=0 5k+b=4

，
解得：

k= 4 7 b= 8 4

，
故直线CE'解析式为y=

4

7

x+

8

7

，
令x=0，则y=

8

7

．
即点P的坐标为（0，

8

7

）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，涉及了待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，解答本题的关键是数形结合思想及待定系数法的应用，难度一般．