Question

23.如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线

于点F.

   (1)求证：∠DCP=∠DAP；

   （2）若AB=2，DP∶PB＝1∶2，且PA⊥BF,求对角线BD的长.

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

  ∴∠ADB=∠CDB， AD=DC

  在△DCP和△DAP中，，

  ∴△DCP≌△DAP  

  ∴∠DCP=∠DAP .                                           ……3分

（2）解：∵ 四边形ABCD是菱形，    

∴CD=AB=2，AB∥CD，

∴∠CDP=∠FBP，∠BFP=∠DCP，

∴△DCP∽△BFP，

∴，

 ∴CD=BF，CP=PF，PD=PB，  ∴AB=BF，

∴点A为BF的中点，

又∵PA⊥BF，

 ∴PB=PF， ∴CP=PD，

 由（1）可知，PA=CP，

∴PA=PD=PB，

在Rt△PAB中，，

 设PA=x，则PB=2x，BD=3x，  

∴ ，   解得，x=

∴ BD=3x=2                                                ……7分