Question

如图，在半径为2

3

的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=4时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）求出BD，根据勾股定理求出OD即可；
（2）过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，求出AF，得出AB长度，根据垂径定理得出D、E分别是BC、AC中点，根据三角形中位线求出即可．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=2，
∴OD=

BO2-BD2

=

(2 3 )2-22

=2

2

．

（2）存在，DE是不变的，
理由是：如图，连接AB，
过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，
则OM平分∠AOB与弧AB，
∴∠AOF=60°，
在Rt△AOF中，∵∠AOF=60°，OA=2

3

，
∴AF=

3

2

OA=3，
∴AB=2AF=6，
由垂径定理可知，点D、E分别是BC和CA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AB=3．

点评：本题考查了三角形中位线，垂径定理，勾股定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．