Question

如图在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC三边于点G、E、F．
（1）求证：F是BC的中点．
（2）判定∠A与∠GEF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接DF，由∠ACB=90°可知△ACB是Rt△，再根据D是AB的中点可知BD=CD=AD，由圆周角定理可知DF⊥BC，故可得出F是BC的中点；
（2）由D、F是AB、BC的中点可知DF∥AC，故可得出∠A=∠BDF，再由圆周角定理得出∠BDF=∠GEF，故可得出结论．

解答：证明：（1）连接DF，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是Rt△，
又∵D是AB的中点，
∴BD=CD=AD，
又∵CD是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，
∴BF=CF 即F是BC的中点；
     
（2）∵D、F是AB、BC的中点，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠BDF，
又∵∠BDF=∠GEF，
∴∠A=∠GEF．

点评：本题考查的是圆周角定理、三角形的中位线定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．