Question

【题目】如图，在矩形中，点为对角线的中点，点是上一点，连接并延长交于点，连接、．

（1）求证：；

（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析．

【解析】

（1）先根据矩形的性质得出，再根据平行线的性质可得，然后根据线段中点的定义可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证；

（2）先根据三角形全等的性质得出，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质、角的和差可得，又根据等腰三角形的三线合一可得，从而根据菱形的判定可得平行四边形是菱形，最后说明菱形不是正方形即可．

（1）四边形ABCD是矩形

，

点O是对角线的中点

在和中，

；

（2）四边形是菱形，理由如下：

由（1）已证：

又，即

四边形是平行四边形

，即OA是的角平分线

（等腰三角形的三线合一）

平行四边形是菱形

点是上一点，

，即

菱形不是正方形

综上，四边形是菱形．