Question

【题目】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝4，OC＝7，则另一条直角边BC的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

过O作OF⊥BC，过O作OM⊥AC，根据正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠AOM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝BF，OM＝FO，求出四边形CMOF为矩形，得出等腰直角三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF的长，求出BF，即可求出答案．

过O作OF⊥CB，交CB的延长线于F，过O作OM⊥AC于M，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCM＝∠OFB＝∠CMO＝90°，

∴四边形CMOF是矩形，

∴OM＝CF，CM＝OF，

∵四边形ABDE为正方形，

∴∠AOB＝90°，OA＝OB，

∴∠AOM+∠BOM＝90°，

又∵∠FOM＝90°，

∴∠BOF+∠BOM＝90°，

∴∠BOF＝∠AOM，

在△AOM和△OBF中

∴△AOM≌△BOF(AAS)，

∴AM＝BF，OM＝OF，

∴OF＝CF，

∵∠CFO＝90°，

∴△CFO是等腰直角三角形，

∵OC＝7，

由勾股定理得：CF＝OF＝,

∴BF＝AM＝AC﹣CM＝AC﹣OF＝﹣＝,

∴BC＝﹣＝3．

故答案为：3．