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【题目】RtABC,ACB=90°,AC=BC=2,PBC边上的一个动点(不与点B,C重合).P关于直线AC,AB的对称点分别为M,N,连接MNAC于点E,AB于点F.

(1)当点P为线段BC的中点时,求∠M的正切值.

(2)当点P在线段BC上运动时(不与B,C重合),连接AM,AN,求证:

AMN为等腰直角三角形;

AEF∽△BAM.

【答案】(1);(2)①见解析;②见解析.

【解析】

(1)连接NB,根据对称的性质可证明BP=BN,进而证明∠MBN=90°,根据P为中点可证明MC=CP=PB=NB=1,求出∠M的正切值即可;(2)①如图:连接AP,根据对称性质可知AP=AM=AN,1=2,3=4,由∠CAB=2+3=45°证明∠MAN=90即可;②由∠AEF=5+1=45°+1,BAM=EAF+1=45°+1,可知∠AEF=BAM,再根据∠B==EAF=45°,即可证明△AEF∽△BAM.

(1)连接NB.

∵在RtABC,ACB=90°,AC=BC,

∴△ACB为等腰直角三角形,

∴∠A=CBA=45°.

∵点P关于直线AB的对称点为N,关于直线AC的对称点为M,

AB垂直PN,BN=BP,

∴∠NBA=PBA=45°,

∴∠PBN=90°,

PBC的中点,BC=2,MC=CP=PB=NB=1,

tan M=.

(2)①连接AP,如图.

∵点P关于直线AC,AB的对称点分别为M,N,

AP=AM=AN,1=2,3=4,

∵∠CAB=2+3=45°,

∴∠MAN=90°,

∴△AMN为等腰直角三角形.

②∵△AMN为等腰直角三角形,

∴∠5=6=45°,

∴∠AEF=5+1=45°+1,

∵∠EAF=45°,

∴∠BAM=EAF+1=45°+1,

∴∠AEF=BAM,

又∵∠B=BAC=45°,

∴△AEF∽△BAM.

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