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【题目】如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论中结论正确的有( )
①EG=DF;
②∠AEH+∠ADH=180°;
③△EHF≌△DHC;
④若 = ,则SEDH=13SCFH

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【答案】D
【解析】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,

∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,

∴△CFG为等腰直角三角形,

∴GF=FC,

∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,

∴EG=DF,

故①正确;

②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,

∴FH=CH,∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD,

在△EHF和△DHC中,

∴△EHF≌△DHC(SAS),

∴∠HEF=∠HDC,

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,

故②正确;

③由②知:△EHF≌△DHC,

故③正确;

④∵ =

∴AE=2BE,

∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,

∴FH=GH,∠FHG=90°,

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,

在△EGH和△DFH中,

∴△EGH≌△DFH(SAS),

∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,

∴△EHD为等腰直角三角形,

过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:

设HM=x,则CF=2x,

∴DF=2FC=4x,

∴DM=5x,DH= x,CD=6x,

则SCFH= ×HM×CF= x2x=x2,SEDH= ×DH2= × =13x2

∴则SEDH=13SCFH,故④正确;

其中结论正确的有:①②③④,4个;
故D符合题意.

所以答案是:D.

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.

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问题解决:

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解:分别用代替式中的,得

解之,得

(方法2—系数比较法)

定理 如果

那么

根据这个定理,也可以这样解:

解:由题设

比较对应项的系数,得

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2)如果除后余,求的值及商式.

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组别

成绩x(分)

频数(人数)

频率

50≤x<60

2

0.04

60≤x<70

10

0.2

70≤x<80

14

b

80≤x<90

a

0.32

90≤x<100

8

0.16

请根据表格提供的信息,解答以下问题:

(1)直接写出表中a= , b=
(2)请补全右面相应的频数分布直方图;
(3)若决赛成绩不低于80分为优秀,则本次大赛的优秀率为
(4)请根据得到的统计数据,简要分析这些同学的汉字书写能力,并为提高同学们的书写汉字能力提一条建议(所提建议不超过20字)

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A.10
B.16
C.18
D.20

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