Question

5．在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分别以AB为边作△ABE≌△ABD，以AC为边作△ACF≌△ACD，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明．
（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得出AE=AD，AF=AD，∠EBA=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，求出AE=AF，∠EAF=90°，根据正方形的判定得出即可；
（2）根据全等得出BD=BE=1，DC=CF=2，设正方形AEMF的边长为x，则∠EMF=90°，EM=FM=x，BM=x-1，CM=x-2，根据勾股定理得出方程（1+2）²=（x-1）²+（x-2）²，求出方程的解即可．

解答 （1）四边形AEMF是正方形，
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD，
∴AE=AD，AF=AD，∠EBA=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴AE=AF，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠EAF=45°+45°=90°，
即∠E=∠F=∠EAF=90°，AE=AF，
∴四边形AEMF是正方形；

（2）解：∵△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD，BD=1，CD=2，
∴BD=BE=1，DC=CF=2，
设正方形AEMF的边长为x，
则∠EMF=90°，EM=FM=x，
所以BM=x-1，CM=x-2，
在RtBMC中，由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，
（1+2）²=（x-1）²+（x-2）²，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$（负数舍去），
所以四边形AEMF的面积是（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）²=$\frac{13+3\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．