Question

9．已知：如图，在正方形ABCD中，M为△ACB内一点，以AM为折痕将AC折叠过来得到线段AE，恰好使BE⊥CE，连接BM，AE与BM交于点N．
（1）判断AM与CE的位置关系并证明；
（2）求证：AC²=10BE²；
（3）当∠BNE=45°时，连EM交BC于点P，则$\frac{BP}{CP}$的值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）结论：AM⊥CE，由折叠的性质可知：AE=AC，∠EAM=∠CAM，所以△ACE是等腰三角形，利用三线合一即可证明．
（2）延长AM交CE于点G，则AG⊥CE，过点A作AH⊥EB交EB的延长线于点H．先证明四边形AHEG是矩形，再证明△AHB≌△BEC，推出EB=AH=EG=CG，由此即可解决问题．
（3）设AG与BC交于点K．由（2）可知，GK∥EB，GC=GE，推出CK=KB，设EB=a，则CE=2a，BC=AB=$\sqrt{5}$a，在Rt△ABK中，由∠ABK=90°，BK=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AB=$\sqrt{5}$a，推出AK=$\sqrt{B{K}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a，由EB∥AK，推出$\frac{PB}{PK}$=$\frac{EB}{AK}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，设PB=2k，PK=5k，则PC=CK+PK=7k+5k=12k，由此即可解决问题．

解答 （1）解：结论：AM⊥CE，理由如下：
由折叠的性质可知：AE=AC，∠EAM=∠CAM．
∴△ACE是等腰三角形，AM平分∠CAE．
∴AM⊥CE．

（2）证明：延长AM交CE于点G，则AG⊥CE 过点A作AH⊥EB交EB的延长线于点H．
∵AE=AC，
∴CG=EG．∵BE⊥CE，
∴∠AGE=∠GEH=∠H=90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∴EG=AH．，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AC²=2BC²，
∵∠ABH+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ABH=∠BCE（同角的余角相等）．
∵∠AHB=∠BEC=90°，
∴△AHB≌△BEC（AAS），
∴AH=BE．
∴EG=AH=BE=CG，
∴CE=2BE．
∵BC²=BE²+CE²=5BE²，AC²=2BC²．
∴AC²=10BE²．

（3）设AG与BC交于点K．
由（2）可知，GK∥EB，GC=GE，
∴CK=KB，设EB=a，则CE=2a，BC=AB=$\sqrt{5}$a，
在Rt△ABK中，∵∠ABK=90°，BK=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AB=$\sqrt{5}$a，
∴AK=$\sqrt{B{K}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a，
∵EB∥AK，
∴$\frac{PB}{PK}$=$\frac{EB}{AK}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，设PB=2k，PK=5k，则PC=CK+PK=7k+5k=12k，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{2k}{12k}$=$\frac{1}{6}$，
故答案为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，体现了数形结合的数学思想，属于中考压轴题．