Question

【题目】如图，直径把圆分为两个半圆，一个半圆弧上有一定点，另一半圆弧上有一动点．过作交的延长线于点．

（1）求证：

（2）若，

①当点运动到半圆弧中点时，求边上的高；

②当点运动到什么位置时，的面积最大？并求这个最大面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①，；②当PC=10时，．

【解析】

（1）易知，，证明即可.

（2）①当点运动到半圆弧中点时,连接AP，过点A作AH⊥PC，由圆周角定理知，得到，，根据勾股定理在中，从而得到，利用等积法求得的斜边PC上的高，再根据的性质，得到PQ上的高的值；

②因点运动过程中，恒成立，而面积为定值，根据，得到，故当QC最大为直径时，最大.问题得解.

（1）证明：∵是直径∴

又∵，∴

又∵∴∴

∴

（2）①解：由直径，可得，

∵点在半圆弧的中点∴，

过作于，在中

∴∴

在中

∴

设斜边上高为，斜边上高为

得

∵∴

∴

②解：在点运动过程中，恒成立

∴当最大时，面积最大

∵直径

此时，，可得，

∴