Question

【题目】表示以为自变量的函数，则表示当时函数的值．例如，一次函数记作，当时，函数值．现给出新定义：对于函数，若存在实数，使得成立，则称点是函数的“奇妙点”．

（1）求函数的“奇妙点”；

（2）当为何值时，函数存在“奇妙点”？

（3）若二次函数有且只有一个“奇妙点”，其图象与轴交于两点（点在点的左侧），是轴上一动点．当的周长最短时，求点的坐标及的周长．

Answer 1

【答案】（1）是函数的“奇妙点”；（2）为任意实数时或时；（3）的周长为．

【解析】

（1）由题意得：4x+6＝2x+12，求出x＝3，则答案可求出；

（2）分三种不同情况讨论：①当2a﹣2≠0，即a≠1，b为任意实数时，函数y＝2ax+3b﹣2有一个“奇妙点”；②当2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝时，函数y＝2ax+3b﹣2有无数个“奇妙点”；③当2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠时，函数y＝2ax+3b﹣2没有“奇妙点”．

（3）由题意得方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一个解，求出A点坐标，可得二次函数y＝﹣x2﹣2x+8的图象与x轴的交点为B（﹣4，0），C（2，0）．如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'A交y轴于点P，则P点为所求，求出直线B'A的解析式为，则点P的坐标可求出，求出AB和AB'的长即可得出答案．

解：（1）由题意得：4x+6＝2x+12，

解得：x＝3．

∴（3，18）是函数y＝4x+6的奇妙点；

（2）由2ax+3b﹣2＝2x+12得（2a﹣2）x＝14﹣3b，

①当2a﹣2≠0，即a≠1，b为任意实数时，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b有唯一解x＝，函数y＝2ax+3b﹣2有一个“奇妙点”；

②当2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝时，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b的解为全体实数，函数y＝2ax+3b﹣2有无数个“奇妙点”；

③当2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠时，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b无解，函数y＝2ax+3b﹣2没有“奇妙点”．

（3）∵二次函数y＝ax2﹣2x+8（a≠0）有且只有一个“奇妙点”，

∴方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一个解，

该方程可化为ax2﹣4x﹣4＝0，

∴△＝（﹣4）2﹣4×（﹣4a）＝0，

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x+8的“奇妙点”为A（﹣2，8），

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8，

∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+8的图象与x轴的交点为B（﹣4，0），C（2，0）．

如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'A交y轴于点P，则P点为所求，

求得B'（4，0），

设直线直线B'A的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线B'A的解析式为，

∴P（0，）．

∴，，

∴△PAB的周长为．