Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC有公共点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F ，BD=BF．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠F=60°，BF=8，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CF=2．

【解析】

（1）连接连接BE，OE，根据直径所对的角为直角结合等腰三角形三线合一的性质可证得DE=EF，根据三角形中位线定理可推出OE∥BC，得出OE⊥AC，即可证明结论；
（2）利用三角形中位线定理可求得半径OE的长，利用含30度角的直角三角形的性质可求得OA进而求得AB，即可求得BC的长，从而得解．

（1）连接BE，OE，

∵BD是直径，

∴∠DEB=90°，

∴BE⊥DF，

∵BD=BF，

∴DE=EF，

又∵DO=OB，

∴OE∥BF，

∵∠ACB=90°，

∴∠OEA=∠ACB =90°，

∴OE⊥AC，

∴AC是圆O的切线；

（2）∵BD=BF，∠F=60°，

∴△DBF为等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠A=∠ACB-∠ABC =90°-60°=30°，

∵DE=EF，DO=OB，

∴OE=，

在中，∠OEA =90°，∠A=30°，

∴AO=2OE=8，

∴AB= AO +OB= AO +OE= 8 +4=12，

在中，∠ACB =90°，∠A=30°，

∴BC==6，

∴CF=BF-BC=2．