【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D是的中点,E为OD延长线上一点,且∠CAE=2∠C,AC与BD交于点H,与OE交于点F.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若DH=9,tanC=,求直径AB的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【解析】
(1)根据垂径定理得到OE⊥AC,求得∠AFE=90°,求得∠EAO=90°,于是得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB=∠C,求得tanC=tan∠ODB=
设HF=3x,DF=4x,根据勾股定理得到DF=,根据相似三角形的性质得到
求得AF=CF=
设OA=OD=x,根据勾股定理即可得到结论.
(1)∵D是的中点
∴OE⊥AC
∴∠AFE=90°
∴∠E+∠EAF=90°
∵∠AOE=2∠C,∠CAE=2∠C
∴∠CAE=∠AOE
∴∠E+∠AOE=90°
∴∠EAO=90°
∴AE是⊙O的切线
(2)连接AD,在RtADH中
∵∠DAC=∠C
∴tan∠DAC=tanC=
∵DH=9
∴AD=12
在RtBDA中,∵tanB=tanC=
∴sinB=
∴AB=20
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【题目】表示以
为自变量的函数,则
表示当
时
函数的值.例如,一次函数
记作
,当
时,函数值
.现给出新定义:对于函数
,若存在实数
,使得成立
,则称点
是函数
的“奇妙点”.
(1)求函数的“奇妙点”;
(2)当为何值时,函数
存在“奇妙点”?
(3)若二次函数有且只有一个“奇妙点”
,其图象与
轴交于
两点(点
在点
的左侧),
是
轴上一动点.当
的周长最短时,求点
的坐标及
的周长.
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【题目】如图,在直角坐标系中,已知A(4,4),B(-1,1),EF=1,线段EF在x轴上平移,当四边形ABEF的周长最小时,点E坐标是__________.
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【题目】已知某种月饼形状的俯视图如图1所示,该形状由1个正六边形和6个半圆组成,半圆直径与正六边形的边长相等.
现商家设计了2种棱柱体包装盒,其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率=×100%)
(1)请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%);
(2)考虑到节约成本,商家希望底面利用率能够不低于80%,且底面图形仍然采用最基本的几何形状,请问商家的要求是否能够满足,若可以满足,请设计一种方案,并直接写出此时的利用率;若不能满足,请说明理由.
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【题目】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,的半径为2,圆心
在坐标原点,正方形
的边长为2,点
、
在第二象限,点
、
在
上,且点
的坐标为(0,2).现将正方形
绕点
按逆时针方向旋转150°,点
运动到了
上点
处,点
、
分别运动到了点
、
处,即得到正方形
(点
与
重合);再将正方形
绕点
按逆时针方向旋转150°,点
运动到了
上点
处,点
、
分别运动到了点
、
处,即得到正方形
(点
与
重合),……,按上述方法旋转2020次后,点
的坐标为( )
A.(0,2)B.C.
D.
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【题目】某商场销售一种名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)当每件衬衫降价多少元时,商场每天获利最大,每天获利最大是多少元?
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【题目】某单位在疫情期间用3000元购进A、B两种口罩1100个,购买A种口罩与购买B种口罩的费用相同,且A种口罩的单价是B种口罩单价的1.2倍;
(1)求A,B两种口罩的单价各是多少元?
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种口罩共2600个,已知A、B两种口罩的进价不变,求A种口罩最多能购进多少个?
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【题目】使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量(单位:
)与旋钮的旋转角度
(单位:度)(
)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度
与燃气量
的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )
A. B.
C.
D.
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