Question

【题目】如图，在直角坐标系中，已知A(4，4)，B(-1，1)，EF=1，线段EF在x轴上平移，当四边形ABEF的周长最小时，点E坐标是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．

如图，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．

∵A（4，4），

∴A′（3，4），

∵B（-1，1），

∴B′（-1，-1）．

设直线A′B′的解析式为y=kx+b，

则，

解得．

∴直线A′B′的解析式为y=，

当y=0时，=0，解得x=-．

故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-，0）．

故答案为：（-，0）．