Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN，分别交于AB，AC于点D，O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，tan∠DAO=______．

Answer 1

（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO．
又∵CE∥AB，
∴∠ADO=∠CEO．
在△ADO和△CEO中，
，
∴△AOD≌△COE（AAS）．
∴OD=OE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形．

（2）解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴DC∥CB，
∴△ADO∽△ABC，
∴==，
∵BC=6，
∴DO=3，
∵AD=DC，AO=CO，△ADC的周长为18，
∴AD+AO=9，
设AO=x，则AD=9-x，
（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴tan∠DAO=．
故答案为：．
分析：（1）首先根据作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线进而得到AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO，然后证明△AOD≌△COE，进而得到OD=OE，从而可判定四边形ADCE是菱形；
（2）首先根据菱形的性质可得AC⊥DE，AO=CO，然后证明DO=BC=3，再利用勾股定理计算出AO的长，进而得到答案．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握线段垂直平分线的作法．