Question

【题目】如图，点 C、D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形，∠APB＝120°

(1) 求证：△ACP∽△PDB

(2) 若 PC＝3，AC＝1，求 BD 的长

Answer 1

【答案】(1)见详解；(2) .

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，于是推出∠ACP=∠PDB=120°，等量代换得到∠BPD=∠CAP，根据相似三角形的性质即可得证；

(2) 由相似三角形的性质得到，计算即可求出BD的长.

(1) ∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，

∴∠ACP=∠PDB=120°，

∵∠APB=120°，

∴∠APC+∠BPD=60°，

∵∠CAP+∠APC=60°，

∴∠BPD=∠CAP，

∴△ACP∽△PDB；

(2) ∵△PCD 是等边三角形，

∴PD=PC=3，

∵△ACP∽△PDB，

∴，即.