Question

20．一个横截面为抛物线形的隧道底部宽AB为12m，最大高度OP为6m，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2m这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于0.4m的空隙，现以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求出这条抛物线的函数解析式；
（2）确定通过隧道车辆的高度限制是多少m？

Answer 1

分析 （1）设抛物线的函数关系式为y=ax²+6，找出函数图象上的坐标，求出函数解析式即可；
（2）根据题意，求出当x=6-2时y的值，根据车辆顶部与隧道的空隙不少于0.4米可得出不等式，从而得出通过隧道车辆的高度的最大值．

解答 解：（1）可设抛物线的函数关系式为y=ax²+6（a＜0），
把点B（6，0）坐标代入上式，得0=36a+6，
解得：a=-$\frac{1}{6}$．
故y=-$\frac{1}{6}$x²+6（-6≤x≤6）．
（2）如图，用线段EF表示通过隧道车辆的高度h米，延长FE交抛物线于点C，
根据题意，则CE=CF-EF=-$\frac{1}{6}$x²+6-h≥0.4，
整理得：h≤-$\frac{1}{6}$x²+5.6（-4≤x≤4，且 x≠0 ）．
∵a=-$\frac{1}{6}$＜0，
∴当0＜x≤4时，二次函数h随x的增大而减小；
当x=4时，函数h取得最小值，最小值为 h=-$\frac{1}{6}$×4²+5.6≈2.93，
∴h≤2.93．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过2.93米．

点评 本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式得知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．