Question

分解因式：
（1）-2x^5n-1yⁿ+4x^3n-1yⁿ⁺²-2x^n-1yⁿ⁺⁴；
（2）x³-8y³-z³-6xyz；
（3）a²+b²+c²-2bc+2ca-2ab；
（4）a⁷-a⁵b²+a²b⁵-b⁷．

Answer 1

解：（1）原式=-2x^n-1yⁿ（x⁴ⁿ-2x²ⁿy²+y⁴）
=-2x^n-1yⁿ[（x²ⁿ）²-2x²ⁿy²+（y²）²]
=-2x^n-1yⁿ（x²ⁿ-y²）²
=-2x^n-1yⁿ（xⁿ-y）²（xⁿ+y）²．

（2）原式=x³+（-2y）³+（-z）³-3x（-2y）（-z）
=（x-2y-z）（x²+4y²+z²+2xy+xz-2yz）．

（3）原式=（a²-2ab+b²）+（-2bc+2ca）+c²
=（a-b）²+2c（a-b）+c²
=（a-b+c）²．
本小题可以稍加变形，直接使用公式，解法如下：
原式=a²+（-b）²+c²+2（-b）c+2ca+2a（-b）
=（a-b+c）²．

（4）原式=（a⁷-a⁵b²）+（a²b⁵-b⁷）
=a⁵（a²-b²）+b⁵（a²-b²）
=（a²-b²）（a⁵+b⁵）
=（a+b）（a-b）（a+b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴）
=（a+b）²（a-b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴）．
分析：（1）先提取公因式-2x^n-1yⁿ后，再将余下的多项式运用公式法继续分解；
（2）根据公式a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）直接分解；
（3）运用完全平方公式分解；
（4）运用分组分解法，将前两项作为一组，后两项作为另一组，分别提取公因式以后，再利用公式分解．
点评：本题考查了因式分解．分解因式的一般步骤是：一提公因式，二套用公式，三分组．本题的难点在于运用分组分解法进行因式分解以及教材大纲要求范围之外的两个公式：a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）；a⁵+b⁵=（a+b）（a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴）．注意因式分解要彻底，一定要分解到每个因式都不能再分解为止．