Question

4．如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，AD=6，OA的长是方程x²-x-12=0的一个根，E是线段OD的中点．
（1）求点C，D的坐标；
（2）求直线AE的解析式；
（3）在y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得B点坐标，则可求得OC的长，利用平行四边形的性质可求得D点坐标；
（2）由中点可先求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线AE解析式；
（3）由A、C坐标可求得AC的长，当NC为菱形的边时，则NC∥AM，由NC=AC可求得N点坐标；当NC为对角线时，则可知AM和NC互相垂直且平分，则N点在x轴的负半轴上，且与C点关于原点对称，可求得N点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-x-12=0可得x=4或x=-3，
∴OA=4，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{4}{OB}$=$\frac{4}{3}$，解得OB=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴OC=3，
∴C（3，0），D（6，4）；
（2）∵D（6，4），E为线段OD的中点，
∴E（3，2），且A（0，4），
∴可设直线AE解析式为y=kx+4，
∴3k+4=2，解得k=-$\frac{2}{3}$，
∴直线AE解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4；
（3）∵A（0，4），C（3，0），
∴AC=5，
①当NC为菱形的边时，则CN∥AM且CN=AC=5，如图1，

∵点M在y轴上，
∴N点纵坐标为5或-5，且OC=3，
∴N点坐标为（3，5）或（3，-5）；
②当NC为对角线时，则AM⊥NC且互相平分，
∴点N在x轴的负半轴上，且与C点关于原点对称，
∴N（-3，0）；
综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（3，5）或（3，-5）或（-3，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、三角函数定义、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的性质、待定系数法及分类讨论思想等知识．在（1）中求得OB的长是解题的关键，在（2）中利用中点求得E点坐标是解题的关键，在（3）中确定出N点的位置是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．