Question

9．如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形，
（1）求证：AE=CD；
（2）若AE交BD于M，CD交BE于N，连结MN，试判断△MBN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质就可以得出△AEB≌△DCB，就可以得出结论；
（2）通过证明△DBN≌△ABM，就可以得出BN=BM，由∠DBE=60°就可以得出结论．

解答 证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBE═60°，AB=DB，CB=EB．
∴∠ABD+∠EBD=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠DBC．
∵A，B，C在同一直线上，
∴∠ABC=180°，
∴∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠EBD．
在△AEB和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{CB=EB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DCB（SAS），
∴AE=CD．

（2）∵△AEB≌△DCB，
∴∠EAB=∠CDB．
在△DBN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠CDB}\\{AB=DB}\\{∠DBE=∠ABM}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△ABM（ASA），
∴BN=BM．
∵∠DBE=60°，
∴△MBN是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．