Question

13．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2$\sqrt{3}$，直线AB的函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据条件先计算图1中的直角△AOB的三边长，得∠BOA=30°；根据两直线平行的性质，同位角相等，可以得不管直线AB向上或向下平移与x轴夹角都是30°，分两种情况进行讨论：①当直线AB向下平移时，如图2，作辅助线，构建直角三角形及平移后的点A′与两坐标轴的垂线，由30°角的性质和三角函数求
出A′Q和OQ的长，写出点A′的坐标即可；②同理在图3中求出A′的坐标．

解答 解：如图1，当x=0时，y=-1，
则B（0，-1），
当y=0时，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1=0，x=$\sqrt{3}$，
则A（$\sqrt{3}$，0），
Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=2，
∴∠BAO=30°
分两种情况：
①当直线AB向下平移时，如图2，
由平移得：∠B′NO=30，
过O作OM⊥A′B′于M，连接OB′、OA′，过A作AQ⊥x轴于Q，
∵OB′=OA′=OA=$\sqrt{3}$，A′B′=AB=2，
∴A′M=B′M=1，
∴OM=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
Rt△OMN中，ON=2OM=2$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴A′N=ON-OA′=$\sqrt{6}$-1，
∴AQ=$\frac{1}{2}$A′N=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$，
cos30°=$\frac{QN}{A′N}$，
∴QN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{6}$-1）=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$，
∴OQ=ON-QN=2$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，
∴A′（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{6}}{2}$）；
②当直线AB向上平移时，如图3，
同理得A′（$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$）
则平移后A点所对应的点的坐标为：（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变换--平移，明确平移前后的两线段相等且平行，本题根据已知直线的解析式求出线段的长，得出30°角是关键，采用了分类讨论的思想，分别向上平移和向下平移；构建对应的直角三角形，与特殊的三角函数、勾股定理相结合得出结论．