【题目】如图,∠BAO=90°,AB=8,动点P在射线AO上,以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C,CD∥BP交半圆P于另一点D,BE∥AO交射线PD于点E,EF⊥AO于点F,连接BD,设AP=m.
(1)求证:∠BDP=90°.
(2)若m=4,求BE的长.
(3)在点P的整个运动过程中.
①当AF=3CF时,求出所有符合条件的m的值.
②当tan∠DBE=时,直接写出△CDP与△BDP面积比.
【答案】(1)详见解析;(2)的长为10;(3)m的值为或;与面积比为或.
【解析】
由知,再由知、,据此可得,证≌即可得;
易知四边形ABEF是矩形,设,可得,证≌得,在中,由,列方程求解可得答案;
分点C在AF的左侧和右侧两种情况求解:左侧时由知、、,在中,由可得关于m的方程,解之可得;右侧时,由知、、,利用勾股定理求解可得.作于点G,延长GD交BE于点H,由≌知,据此可得,再分点D在矩形内部和外部的情况求解可得.
如图1,
,
,
,
、,
,
,
≌,
.
,,
,
,
,
四边形ABEF是矩形,
设,则,
,
,
,
,
≌,
,
≌,
,
在中,,即,
解得:,
的长为10.
如图1,当点C在AF的左侧时,
,则,
,
,,
在中,由可得,
解得:负值舍去;
如图2,当点C在AF的右侧时,
,
,
,
,,
在中,由可得,
解得:负值舍去;
综上,m的值为或;
如图3,过点D作于点G,延长GD交BE于点H,
≌,
,
又,且,
,
当点D在矩形ABEF的内部时,
由可设、,
则,
,
则;
如图4,当点D在矩形ABEF的外部时,
由可设、,
则,
,
则,
综上,与面积比为或.
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【题目】因商人、商业、商品发源于商丘,商朝建都于河南商丘,商丘被誉为“三商之源,华商之都”商字是商丘市的城市地标,坐落在河南省商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处中的环岛内,雕塑建成与1997年6月29日,某中学九年级数学兴趣小组想测量商字雕塑AB的高度,小明在雕塑前一座写字楼CD分E处仰望商字雕塑的顶端A,测得仰角为,小亮在写字楼前F处,测得商字雕塑的顶端A的仰角为,有装B,F,D在同一条直线上,,,求商字雕塑AB的高度测角器的高度忽略不计,结果精确到1米参考数据:,,.
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【题目】如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
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【题目】如图,矩形ABCD和正方形EFGH的中心重合,,,分别延长FE,GF,HG和EH交AB,BC,CD,AD于点I,J,K,若,则AI的长为______,四边形AIEL的面积为______.
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【题目】如图,已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2.在x轴上有一点P (a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数和y=x的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
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【题目】先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:解一元二次不等式,
解:∵,∴可化为,
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有
(1)或(2)
解不等式组(1),得,解不等式组(2),得,
故的解集为或,
即一元二次不等式的解集为或.
问题:(1)一元二次不等式的解集为______.
(2)求分式不等式的解集.
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【题目】我们在学习“实数”时画了这样一个图,即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形,然后以原点O为圆心,正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”,请根据图形回答下列问题:
(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A.数形结合 B.代入 C.换元 D.归纳
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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