Question

19．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AB=AD=DC．
（1）若AD平分∠BAC，求证：AC=BC；
（2）若AD三等分∠BAC，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角得出∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，继而得出∠ADB=2∠DAC，根据已知得出∠ADB=∠BAC=∠B，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据等边对等角得出∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，继而得出∠ADB=2∠DAC，根据已知得出∠ADB=∠BAD=∠B，根据等角对等边即可证得△ABD是等边三角形，从而求得∠B的度数．

解答 （1）证明：∵AB=AD=DC，
∴∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，
∴∠ADB=2∠DAC，
∵∠BAC=2∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC；
（2）解：∵AB=AD=DC，
∴∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，
∴∠ADB=2∠DAC，
∵∠BAD=2∠DAC，
∴∠ADB=∠BAD，
∴∠B=∠ADB=∠BAD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°．

点评 此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．