Question

如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R.

（1）求证：DP=CG；
（2）判断△PQR的形状，请说明理由.

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）△PQR为等腰三角形，理由见试题解析．

试题分析：（1）正方形对角线AC是对角的角平分线，可以证明△ADP≌△DCG，即可求证DP=CG．
（2）由（1）的结论可以证明△CEQ≌△CEG，进而证明∠PQR=∠QPR．故△PQR为等腰三角形．
试题解析：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADP=∠DCG=90°，∠CDG+∠ADH=90°，∵DH⊥AP，∴∠DAH+∠ADH=90°，∴∠CDG=∠DAH，∴△ADP≌△DCG，∵DP，CG为全等三角形的对应边，∴DP=CG．
（2）△PQR为等腰三角形．理由如下：
∵CQ=DP，由（1）的结论可知，∴CQ=CG，∵∠QCE=∠GCE，CE=CE，∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE=∠CGE，∴∠PQR=∠CGE，∵∠QPR=∠DPA，且（1）中证明△ADP≌△DCG，∴∠PQR=∠QPR，所以△PQR为等腰三角形．