Question

16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点M，N分别在边AB，AC上，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点为A′，连接BA′，则BA′长度的最小值为4$\sqrt{3}-4$．

Answer 1

分析 首先求得BC的长度，然后由两点之间线段最短可知：当点B、N、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小，然后根据BA′=BC-A′C求解即可．

解答 解：如图所示过点A作AD⊥BC于点D．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，BD=DC．
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{BD}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BD=2$\sqrt{3}$．
∴BC=4$\sqrt{3}$．
由翻折的性质可知：A′N=AN
∵AN+NC=AC=4，
∴A′N+NC=4．
要求BA′的最小值，只需BA′+A′N+NC有最小值，由两点之间线段最短可知：当点B、N、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小．
如图所示：

由翻折的性质可知：A′C=AC．
∴BA′=BC-A′C=4$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊度数的锐角三角函数值、线段的性质的应用，明确当点B、N、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小是解题的关键．