Question

3²-1=8×1，
5²-1=24=8×3，
7²-1=48=8×6，
9²-1=80=8×10，
…
（1）你发现了什么？
（2）用数学式子来说明结论是正确的．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）；
（2）先用完全平方公式计算式子的左边，再合并同类项得出左边=4n²+4n，再用求和公式求出1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，然后得出右边=8×

n(n+1)

2

=4n²+4n．

解答：解：（1）n=1时，（2×1+1）²-1=8×1；
n=2时，（2×2+1）²-1=24=8×（1+2）；
n=3时，（2×3+1）²-1=48=8×（1+2+3）；
n=4时，（2×4+1）²-1=80=8×（1+2+3+4）；
…
n=n时，（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）．
即发现的规律为：（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）；

（2）∵左边=（2n+1）²-1=4n²+4n+1-1=4n²+4n，
右边=8×（1+2+3+…+n）=8×

n(n+1)

2

=4n（n+1）=4n²+4n，
∴左边=右边，
即（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．