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【题目】如图,取一张长方形纸片ABCD,沿AD边上任意一点M折叠后,点D、C分别落在D、C的位置,设折痕为MN,DC交BC于点E且AMD=αNEC=β

(1)探究αβ之间的数量关系,并说明理由.

(2)连接AD是否存在折叠后ADM与CEN全等的情况?若存在,请给出证明;若不存在,请直接作否定的回答,不必说明理由.

【答案】(1)、α+β=90°;(2)、点D与点B重合时,ADM与CEN全等;证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)、α+β=90°.如图1,延长MD交BC于点F.利用平行线的性质得到:AM D=MFE=α.然后根据折叠的性质推知:MFE+DEF=90°DEF=NEC,故α+β=90°;(2)、当点D与点B重合时,ADM与CEN全等.如图2,此时,B、E、D三点重合.利用折叠的性质和全等三角形的判定定理HL证得这两个三角形全等;

试题解析:(1)、α+β=90°.理由如下:

如图1,延长MD交BC于点F.ADBC, ∴∠AM D=MFE=α

MDE=D=90°FDE=90°∴∠MFE+DEF=90°DEF=NEC α+β=90°

(2)、当点D与点B重合时,ADM与CEN全等.

如图2,此时,B、E、D三点重合.由折叠可知,1=2,∴∠C=C=A=90°,CE=CD.

ADBC,2=3, 1=3,即DM=EN. 又AD=DC, AD=CE,

在RtADM与RtCEN中,,故RtADMRtCEN(HL).

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