Question

6．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（其中m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴交于点E．
（1）若该抛物线经过点M（4，2），求实数m的值和△BCE的面积．
（2）若该抛物线的对称轴上存在一点H，使得BH+EH的最小值为2$\sqrt{5}$，求此时点H的坐标．
（3）在第四象限内的抛物线上是否存在一点F，使得△BCF∽△BEC？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出m的值，再用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性确定出点H的位置，再求出直线CE解析式和抛物线对称轴方程，进而确定出点H的坐标；用极值确定出m的值；
（3）利用相似三角形得出∠CBE=∠CBF，进而判断出OE=OD，即可得出直线BD解析式，联立抛物线解析式即可确定出m；

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）经过点M（4，2），
∴2=-$\frac{1}{m}$（4+2）（4-m），
∴m=3，
∴抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x+2）（x-3），
∴B（-2，0），C（3，0），E（0，2），
∴BC=3-（-2）=5，OE=2，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC×OE=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
（2）如图1，抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（其中m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），
∴E（0，2），C（m，0），
∴CE=$\sqrt{{m}^{2}+4}$
∵点B，C关于抛物线的对称轴对称，
∴连接CE，交抛物线于H，CE就是最小值，
∵使得BH+EH的最小值为2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+4}$=2$\sqrt{5}$，
∴m=±4，∵m＞0，
∴m=4，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4），
∴此抛物线的对称轴为x=1，
∴C（4，0），
∵E（0，2），
∴直线CE解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴当x=1时，y=-$\frac{1}{4}$（1+2）（1-4）=$\frac{9}{4}$，
∴H（1，$\frac{9}{4}$），
（3）存在，
理由：如图2，由（1）知，B（-2，0），C（m，0），E（0，2），
∴BE=2$\sqrt{2}$，BC=m+2，CE=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，OE=2，
∵△BCF∽△BEC，
∴∠CBE=∠CBF，
∵BC⊥DE，
∴OD=DE=2，
∴D（0，-2），
∵B（-2，0），
∴直线BD的解析式为y=-x-2①，
∵抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）②，
联立①②得，F（2m，-2m-2），
∵C（m，0），
∴CF=$\sqrt{{m}^{2}+（2m+2）^{2}}$，BF=$\sqrt{（2m+2）^{2}+（2m+2）^{2}}$=$\sqrt{8（m+1）^{2}}$，
∵△BCF∽△BEC，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{CF}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{8（m+1）^{2}}}{m+2}=\frac{\sqrt{{m}^{2}+（2m+2）^{2}}}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$，
∴m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴m=1时，△BCF∽△BEC．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，相似三角形的性质，解本题的关键是确定出m的值，是一道难度比较大的中考常考题．