Question

18．如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x²先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）²+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；
（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；
（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；
（3）点P是抛物线上一动点，在y轴上找点Q．使点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，直接写出对应的点P的坐标．（不用写过程）
（4）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P的坐标．（不写过程）

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的平移规律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得与x轴的交点坐标；
（2）首先求得点C和点M的坐标，然后求得BC、CM及BM的长，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分两AB为边和AB为对角线两种情况讨论计算即可．
（4）分别根据当点G在y轴上时和点F在y轴上时两种情况利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-1）²-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）²-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），
（2）∵令x=0，得y=（0-1）²-4=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），点M的坐标为（1，-4）
∴BC=3$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$
∴BC²+MC²=BM²
∴△BMC是直角三角形； 
∴S=$\frac{1}{2}$BC•CM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3；
（3）由（1）知，抛物线y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（p，p²-2p-3），
∵点Q在y轴上，
∴设Q（0，m），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，AB的中点M（1，0）
∵点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，
①当AB为边时，AB∥PQ，AB=PQ，
∴p²-2p-3=m，|p|=4，
Ⅰ、当p=4时，m=5，
∴P（4，5），
Ⅱ、当p=-4时，m=21，
∴P（-4，21）
②当AB为对角线时，点M是PQ的中点，
∴p=2，p²-2p-3+m=0，
∴p=2，m=3，
∴P（2，-3），
∴点P的坐标为（4，5），（-4，21）或（2，-3），
（4）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，


由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得y_P=x_A=-1，
∴x²-2x-3=-1，
得x=1±$\sqrt{2}$，
∴P₁（1-$\sqrt{2}$，-1），P₂（1+$\sqrt{2}$，-1）
②如图（3），

当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得y_P=x_P，
则x²-2x-3=x，
得x=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍去），
故P₃（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$）．．

点评 此题是二次函数综合题，主要抛物线的平移的性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是分类讨论思想，是一道难度比较大的中考常考题．