【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ,给出如下结论:①DQ=1;② =
;③S△PDQ=
;④cos∠ADQ=
,其中正确结论是(填写序号)
【答案】①②④
【解析】解:正确结论是①②④. 提示:①连接OQ,OD,如图1.
易证四边形DOBP是平行四边形,从而可得DO∥BP.
结合OQ=OB,可证到∠AOD=∠QOD,从而证到△AOD≌△QOD,
则有DQ=DA=1.
故①正确;②连接AQ,如图2.
则有CP= ,BP=
=
.
易证Rt△AQB∽Rt△BCP,
运用相似三角形的性质可求得BQ= ,
则PQ= ﹣
=
,
∴ =
.
故②正确;③过点Q作QH⊥DC于H,如图3.
易证△PHQ∽△PCB,
运用相似三角形的性质可求得QH= ,
∴S△DPQ= DPQH=
×
×
=
.
故③错误;④过点Q作QN⊥AD于N,如图4.
易得DP∥NQ∥AB,
根据平行线分线段成比例可得 =
=
,
则有 =
,
解得:DN= .
由DQ=1,得os∠ADQ= =
.
故④正确.
综上所述:正确结论是①②④.
所以答案是:①②④.
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例,掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积;三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例即可以解答此题.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
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【题目】一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD如图1所示,AB=10cm,小
明用这张纸带将底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴(要求包
贴时没有重叠部分). 小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的
侧面展开进行分析.
(1)若纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则纸带AD的长度为 cm;
(2)若AD=100cm,纸带在侧面缠绕多圈,正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则这个直三棱柱纸盒的高度是cm.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积等于 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=2,点O为AB的中点,以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D.则图中阴影部分的面积为( )
A.1﹣ π
B. ﹣
C.2﹣
D.2﹣ π
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【题目】解答题
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
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【题目】如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE= ,求sin∠E.
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【题目】西海岸旅游旺季到来,为应对越来越严峻的交通形势,新区对某道路进行拓宽改造.工程队在工作了一段时间后,因雨被迫停工几天,随后工程队加快了施工进度,按时完成了拓宽改造任务.下面能反映该工程尚未改造的道路y(米)与时间x(天)的函数关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是( )
A.y=
B.y=
C.y=2
D.y=3
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