Question

2．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA-PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点M（$\frac{3}{2}$，0），N（0，1），T（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）中，⊙O的“完美点”是N，T；
②若⊙O的“完美点”P在直线y=$\sqrt{3}$x上，求PO的长及点P的坐标；
（2）⊙C的圆心在直线y=$\sqrt{3}$x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论；
②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；
（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时⊙C与y轴的位置关系即可得出结论．

解答 解：（1）①∵点M（$\frac{3}{2}$，0），
∴设⊙O与x轴的交点为A，B，
∵⊙O的半径为2，
∴取A（-2，0），B（2，0），
∴|MA-MB|=|（$\frac{3}{2}$+2）-（$\frac{3}{2}$-2）|=4≠2，
∴点M不是⊙O的“完美点”，
同理：点N，T是⊙O的“完美点”．
故答案为N，T；
②如图1，根据题意，|PA-PB|=2，
∴|OP+2-（2-OP）|=2，
∴OP=1．
若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，
∵点P在直线$y=\sqrt{3}x$上，OP=1，
∴OQ=$\frac{1}{2}$，PQ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
综上所述，PO的长为1，点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA-PB|=2，
∴|CP+2-（2-CP）|=2．
∴CP=1．
∴对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2-（2-CP）|=2，
∴|PA-PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．
因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．
设直线$y=\sqrt{3}x+1$与y轴交于点D，如图2，
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．
设切点为E，连接CE，
∵⊙C的圆心在直线y=$\sqrt{3}$x+1上，
∴此直线和y轴，x轴的交点D（0，1），F（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=1，
∵CE∥OF，
∴△DOF∽△DEC，
∴$\frac{OD}{DE}=\frac{OF}{CE}$，
∴$\frac{1}{DE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$，
∴DE=2$\sqrt{3}$．
∴OE=2$\sqrt{3}$-1，
t的最小值为1-2$\sqrt{3}$．
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．
同理可得t的最大值为1+2$\sqrt{3}$．
综上所述，t的取值范围为1-2$\sqrt{3}$≤t≤1+2$\sqrt{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题．