Question

如图1，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于点A、点D，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，连接AC，点P在线段AC的上方且是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为t，线段PM的长为d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当PM的长d达到最大值时，点E在直线BP上，点F在抛物线上，当以P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求出满足要求的t值，并直接写出点E的坐标．
（二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x=-

b

2a

时，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，再根据平行线的性质得到点C的纵坐标，代入抛物线y=-x²+2x+3可求点C的坐标；
（2）令y=0，则：-x²+2x+3=0，解方程得到A（-1，0），D（3，0），再根据待定系数法得到直线AC的解析式，根据两点间的距离公式得到d与t的函数关系式；
（3）根据最值公式得到d有最大值时的t值，进一步得到点E的坐标．

解答：解：（1）y=-x²+2x+3，令x=0，y=3，
∴B（0，3）
又∵BC∥x轴，
∴令y=3，则-x²+2x+3=3，
解得x₁=0（舍），x₂=2，
∴C（2，3）；

（2）令y=0，则：-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），D（3，0），
设AC的解析式为y=kx+b
则

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1            
∵P（t，-t²+2t+3），M（t，t+1）
∴d=y_p-y_m=-t²+2t+3-（t+1）
∴d=-t²+t+2；                                

（3）∵a=-1＜0，
∴d有最大值，
当t=-

b

2a

=-

1

2×(-1)

=

1

2

时，d最大，
如图：点E的坐标为：E₁（-3，-

3

2

），E₂（4，9）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，平行线的性质，方程思想，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式；最值公式，平行四边形的性质．