Question

A．某中学师生在劳动基地活动时，看到木工师傅在材料边角处画直角时，用了一种“三弧法”．方法是：
①画线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧相交于C；
②以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D；
③连接DB．则∠ABD就是直角．
（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释；
（2）现有一长方形木块的残留部分如图，其中AB，CD整齐且平行，BC，AD是参差不齐的毛边．请你在毛边附近用尺规画一条与AB，CD都垂直的边（不写作法，保留作图痕迹）；

B．如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由．

Answer 1

A题解：（1）解法一：由作图知，AB=BC=CD=AB，∴BC=AD
根据三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形，
这条边所对的角就是直角，即∠ABD是直角．
解法二：由作图知，AC=BC=CD=AB，
所以△ABC为等边三角形．△BCD为等腰三角形，
∠1=∠2=∠3=60°，∠4=∠5，∠3=∠4+∠5=60°，∠5=30°，
∴∠ABD=90度．
（本题说明方法较多，只要合理均可给分）

（2）如图所示．

B题解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．
证明：∵CE⊥BD，∴△CED是Rt△．
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30度．
∴CD=2DE．
∵CD=2DA，∴DE=DA．

（2）有．△ADE∽△AEC．
分析：A（1）在连接BC后，由作图过程可知，AC=BC=AB=CD所以∠1=∠2，∠4=∠5，又∠1+∠2+∠5+∠4=2（∠2+∠5）=180°所以∠ABD=90°
（2）作图过程可以参照（1），解释相同．
B（1）因为CE和BD垂直，且∠BDC=60°，所以∠ECD=30°，所以ED=CD，又CD=2DA，所以DE=DA．∠DAE=∠DEA=30°，CE=EA
又∠DAB=45°，∴∠ABD=∠CDB-∠BAD=15°，所以BE=AE．
（2）△ADE∽△AEC，又（1）知，∠EAD=DEA=∠ACE，所以△ADE∽△AEC．
点评：此题考查了直角的作法，以及相似三角形的判定，难易程度适中．