Question

如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，=，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=________；当n=12时，p=________．
（参考数据：，）

Answer 1

c+b    c+b
分析：如解答图所示，作辅助线，构造相似三角形．首先，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，则△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形，所以△ABC∽△CED，得到；其次，证明△ACD∽△BCE，得到；由EA=ED+DA，整理得到p的通项公式为：p=c+2cos•b．将n=4，n=12代入，即可求得答案．
解答：解：如解答图所示，连接AB、AC、BC．
由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，
∴AB=BC，∠ACB=×=（度）．
在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N，
则AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos•BC，
∴=2cos．
连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD．
∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形，
∴△ABC∽△CED．
∴，∠ACB=∠DCE．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
∵，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
∴，
∴DA=•EB=2cos•EB．
∴EA=ED+DA=EC+2cos•EB．
由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．
∴p=c+2cos•b．
当n=4时，p=c+2cos45°•b=c+b；
当n=12时，p=c+2cos15°•b=c+b．
故答案为：c+b，c+b．
点评：本题是几何综合题，难度很大．解决本题，需要综合运用圆、相似三角形、等腰三角形、三角函数、折叠性质等多个知识点，对几何综合能力要求很高．本题解答过程中，求得p的通项公式：p=c+2cos•b，这样的结果更具普遍性；也可以按照题中要求，对于4等分或12等分的情况分别求解．