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【题目】如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过O点的直线分别于AB、CD交于E、F,连结BF交AC与点M,连结DE、BO,若∠COB=60°,FO=FC

求证:①FB⊥OC,OM=CM;

四边形EBFD是菱形;

③MB:OE=3:2.

【答案】详见解析

【解析】

①根据已知得出OBF≌△CBF,可求得OBFCBF关于直线BF对称,进而求得FBOC,OM=CM;

②先证得∠ABO=OBF=30°,再证得OE=OF,进而证得OBEF,因为BD、EF互相平分,即可证得四边形EBFD是菱形.

③根据三角函数求得MB=,OF=,根据OE=OF即可求得MB:OE=3:2.

证明:①连接BD,

∵四边形ABCD是矩形,

AC=BD,AC、BD互相平分,

OAC中点,

BD也过O点,

OB=OC,

∵∠COB=60°,OB=OC,

∴△OBC是等边三角形,

OB=BC=OC,OBC=60°,

OBFCBF

,

∴△OBF≌△CBF(SSS),

∴△OBFCBF关于直线BF对称,

FBOC,OM=CM;

②∵∠OBC=60°,

∴∠ABO=30°,

∵△OBF≌△CBF,

∴∠OBM=CBM=30°,

∴∠ABO=OBF,

ABCD,

∴∠OCF=OAE,

OA=OC,

易证AOE≌△COF,

OE=OF,

OBEF,

∴四边形EBFD是菱形,

③∵∠OMB=BOF=90°,OBF=30°,

MB=,OF=

OE=OF,

MB:OE=3:2,

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