Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，且AD=CD=BC，I为△ACD内切圆的圆心，则∠ABI的度数为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：由AB=AC，AD=CD=BC，根据等角对等边的知识，可得∠BAC=∠ACD，∠ABC=∠ACB=∠CDB，设∠BAC=x°，根据等腰三角形的性质得出∠ACD=x°，∠ABC=∠ACB=∠CDB=2x°，然后根据三角形内角和定理得出关于x的方程，解方程即可求得∠BAC的度数，再根据I为△ACD内切圆的圆心，即可求出∠ABI的度数．

解答：解：∵AB=AC，AD=CD=BC，
∴∠BAC=∠ACD，∠B=∠ACB=∠CDB，
设∠BAC=x°，则∠ACD=∠BAC=x°，
∴∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠BAC+∠ACD=2x°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴x+2x+2x=180，
∴x=36，
∴∠BAC=36°，
∴∠ABC∠ACB=72°，
∵I为△ACD内切圆的圆心，
∴∠ABI=36°，
故答案为36°．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．