Question

19．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH⊥AF于点H，交AC于点G，连接GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）求证：四边形BFGE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，再由角的互余关系证出∠OAE=∠OBG，由ASA即可证明△OAE≌△OBG；
（2）先证明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB；再证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，
即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBG}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOE=∠BOG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）在△AHG与△AHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAH=∠BAH}&{\;}\\{AH=AH}&{\;}\\{∠AHG=∠AHB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB．
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BFGE是菱形；

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．