Question

4．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足$\sqrt{a-b}$+|a-3$\sqrt{2}$|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．
（1）求a、b的值．
（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．
（3）若∠OPD=45°，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）当P点运动时，PE的值不变化，PE=3，理由为：过O作OC垂直于AB，由OA=OB，C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出AB的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出OC的长，再由三角形AOB为等腰直角三角形，得到AC=BC，且∠AOC=∠BOC=45°，根据PO=PD，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质及等式性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且PO=PD，利用AAS得到三角形POC与三角形DPE全等，利用全等三角形对应边相等得到PE=OC，求出PE的长即可；
（3）由∠OPD度数及PO=PD，利用等边对等角及内角和定理求出∠POD与∠PDO的度数，利用外角性质得到一对角相等，利用AAS得到三角形POB与三角形PDA全等，利用全等三角形对应边相等得到OB=PA=OA，根据OA-AD求出OD的长，即可确定出D的坐标．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-b}$+|a-3$\sqrt{2}$|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=0}\\{a-3\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：a=b=3$\sqrt{2}$；
（2）当P点运动时，PE的值不变化，PE=3，理由为：
过O作OC⊥AB，
∵OA=OB=3$\sqrt{2}$，C为斜边AB的中点，
∴AB=$\sqrt{（{3\sqrt{2}）}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6，即OC=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=45°，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠APD，
∴∠POC=∠APD，
在△POC和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠PDE}\\{∠PCO=∠DEP=90°}\\{PO=PD}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC=PE=3；
（3）∵OP=DP，∠OPD=45°，
∴∠POD=∠PDO=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠PDA=180°-∠PDO=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO，
在△POB和△DPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPO=∠PDA}\\{∠OBP=∠PAD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△DPA（AAS），
∴OB=PA=OA=3$\sqrt{2}$，
∴DA=PB=6-3$\sqrt{2}$，
∴OD=OA-DA=3$\sqrt{2}$-（6-3$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$-6，
则D（6$\sqrt{2}$-6，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，非负数的性质，外角性质及内角和定理，坐标与图形性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．