Question

15．如图，⊙O与射线AM相切于点B，圆心O在射线AN上，⊙O半径为6cm，OA=10cm．点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AN方向运动，过P点作直线l垂直AB，当l与⊙O相切时，所用时间是$\frac{5}{4}$或$\frac{35}{4}$秒．

Answer 1

分析 当l平移到l′和l″时，与⊙O相切，切点分别为C点和D点，如图，根据切线的性质得到四边形BOCE和四边形BODF都是矩形，则BE=OC=6，BF=OD=6，在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AB=8，则AE=AB-BE=2，AF=AB+BF=14，利用PE∥OB得到$\frac{AP}{AO}=\frac{AE}{AB}$，利用比例性质可计算出AP=$\frac{5}{2}$，易得点P运动的时间为$\frac{5}{4}$秒；接着证明△QOD∽△QAF，利用相似比计算出AQ=$\frac{35}{2}$，易得点P运动到点Q时的时间为$\frac{35}{4}$秒．

解答 解：当l平移到l′和l″时，与⊙O相切，切点分别为C点和D点，如图，
则OC=OD=6，OC⊥l′，OD⊥l″，
∵⊙O与射线AM相切于点B，
∴OB⊥AM，
∵l⊥AB，
∴四边形BOCE和四边形BODF都是矩形，
∴BE=OC=6，BF=OD=6，
在Rt△AOB中，∵OB=6，OA=10，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴AE=AB-BE=2，AF=AB+BF=14，
∵PE∥OB，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AP}{10}=\frac{2}{8}$，
∴AP=$\frac{5}{2}$，
∴点P运动的时间=$\frac{5}{2}$÷2=$\frac{5}{4}$（秒）；
∵OD∥AF，
∴△QOD∽△QAF，
∴$\frac{OQ}{AQ}=\frac{OD}{AF}$，即$\frac{AQ-10}{AQ}=\frac{6}{14}$，
∴AQ=$\frac{35}{2}$，
∴点P运动到点Q时的时间=$\frac{35}{2}$÷2=$\frac{35}{4}$（秒），
即当l与⊙O相切时，所用时间为$\frac{5}{4}$秒或$\frac{35}{4}$秒．
故答案为：$\frac{5}{4}$或$\frac{35}{4}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．