如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A.B两点.与y轴交于点C.且点B的坐标为(3.0).点P在这条抛物线上.且不与B.C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q.以PQ为边作Rt△PQF.使∠PQF=90°.点F在点Q的下方.且QF=1．设线段PQ的长度为d.点P的横坐标为m．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)求d与m之间的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）求d与m之间的函数关系式．
（3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．
（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．

分析（1）把点B（3，0）代入抛物线y=a（x-1）²+4，求出a的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，由点Q的纵坐标求出横坐标，求出PQ，即可得出结果；
（3）由题意得出点P与点Q关于y轴对称，得出方程，解方程即可；
（4）分两种情况：①当点F落在△OBD的直角边上时，延长QF交OB于G，证出△OFG是等腰直角三角形，得出OG=FG，由FG=QG-QF，得出方程，解方程即可；
②当点F落在△OBD的斜边上时，证出△BQF是等腰直角三角形，得出BF=QF=1，OF=2，得出方程，解方程即可．

解答解：（1）把点B（3，0）代入抛物线y=a（x-1）²+4，
得：4a+4=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
即抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）对于抛物线y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=3；
当y=0时，x=-1，或x=3，
∴C（0，3），A（-1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵点P的坐标为：（m，-m²+2m+3），
∴点Q的纵坐标坐标为：-m²+2m+3，
则-x+3=-m²+2m+3，x=m²-2m，
∴点Q的坐标为（m²-2m，-m²+2m+3），
∴当-1≤m＜0时，如图1，
d=m²-2m-m=m²-3m，
当0＜m＜3时，如图2，
d=m-（m²-2m）=-m²+3m
∴d与m之间的函数关系式为：d=$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3m（-1≤m＜0）}\\{-{m}^{2}+3m（0＜m＜3）}\end{array}\right.$；

（3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，点P与点Q关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，
∴m²-2m+m=0，
解得：m=1，或m=0（不合题意，舍去），
∴m=1，
∴d=3-1=2；
（4）分四种情况：

①情形一：如图4所示，
∵C点的坐标为（0，3），
将y=3代入函数y=-x²+2x+3得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴P点的横坐标m=2；
②情形二：如图5所示：过D₂点作D₂G⊥CO交QF与N点，
∵B（3，0）
∴D₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵CO=3，QF=1，QF∥CO，
∴$\frac{{D}_{2}N}{{D}_{2}G}$=$\frac{QF}{CO}$，
∴D₂N=$\frac{1}{2}$，
∴Q（1，2），
将y=2代入函数y=-x²+2x+3得x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$（舍去），
∴m=1+$\sqrt{2}$；
③情形三：如图6所示：过D₂点作D₂G⊥OB，
∵B（3，0）
∴D₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵BG=$\frac{3}{2}$，QF=1，QF∥CO，
∴$\frac{QF}{{D}_{2}G}=\frac{BF}{BG}$，
∴BF=1，
∴Q（1，1），
将y=1代入函数y=-x²+2x+3得x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$（舍去），
∴m=1+$\sqrt{3}$；
④情形四：如图7所示：
∵CD₄=6，QF=1，BC=3$\sqrt{2}$，且QF∥CD₂，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{QF}{C{D}_{2}}$，
∴BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Q点纵坐标为$\frac{1}{2}$，即P点纵坐标，
将y=$\frac{1}{2}$代入函数y=-x²+2x+3得x₁=$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，x₂=$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$（舍去），
∴m=$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$．
综上所述：当0＜m＜3时，点F落在△OBD的边上时m的值为：2，或1+$\sqrt{2}$，或1+$\sqrt{3}$，或$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$．

点评本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、轴对称的性质、用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要进行分类讨论，画出图形，证明等腰直角三角形和解一元二次方程才能得出结果．

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