Question

4．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2$\sqrt{2}$，∠BCD=30°，则⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．

解答 解：
连接OB，
∵OC=OB，∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=2$\sqrt{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，∠OEB=90°，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．