Question

20．如图1，在四边形ABCD中，连接AC，且AC=CD，点E在△ACD内，连接AE，BE，CE，DE，已知AB=BE，∠ACE+∠ADE=90°，∠ACD=∠ABE=90°．
（1）①试判断∠BAC和∠EAD之间的数量关系，并说明理由；
②求证：△ABC∽△AED；
③若CE=2，DE=3，求AE的长度；
（2）把题干中“AC=CD和AB=BE”改为“$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=x”，已知△ABC∽△AED，CE=1，DE=6，BE=3，求x的值；
（3）如图2，把题干中“∠ACD=∠ABE=90°”改为“∠ACD=∠ABE=135°”，并过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，若△ABC∽△AED，CE=a，DE=b，AE=c，求a，b，c三者满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①证明△ABE和△ADC都是等腰直角三角形，则∠CAD=∠BAE=45°，根据等式的性质可得：∠BAC=∠EAD；
②根据△ABE和△ADC都是等腰直角三角形，得$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$=$\sqrt{2}$，再由其夹角相等可得相似；
③先证明△BCE是直角三角形，利用上题的相似列比例式求BC的长，利用勾股定理得BE的长，根据△ABE是等腰直角三角形求AE的长；
（2）根据△ABC∽△AED，得△BCE是直角三角形，利用勾股定理求BC=2$\sqrt{2}$，由已知的$\frac{BE}{AB}=x$，表示AB=$\frac{3}{x}$，代入比例式$\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC}$中，表示AE=$\frac{9}{\sqrt{2}x}$，由勾股定理列方程可得结论；
（3）如图2，作辅助线，构建等腰直角三角形AMB，设AM=BM=x，则AB=BE=$\sqrt{2}$x，根据勾股定理列方程表示${x}^{2}=\frac{{c}^{2}}{4+2\sqrt{2}}$①，由△ABC∽△AED，列比例式$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$，得BC=$\frac{\sqrt{2}bx}{c}$，最后利用勾股定理列式：BE²=BC²+CE²，把①代入可得结论．

解答 解：（1）①∠BAC=∠EAD；
理由是：∵∠ABE=90°，AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
同理可得：△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠BAE，
∴∠CAD-∠CAE=∠BAE-∠CAE，
即∠BAC=∠EAD；
②由①得：△ABE和△ADC都是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，AD=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED；
③∵△ABC∽△AED；
∴∠ADE=∠ACB，$\frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵ED=3，
∴BC=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ACE+∠ADE=90°，
∴∠ACE+∠ACB=90°，
即∠BCE=90°，
∵CE=2，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{34}}{2}$=$\sqrt{17}$；
则AE的长度为$\sqrt{17}$；
（2）∵△ABC∽△AED，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠ACE+∠ADE=90°，
∴∠ACE+∠ACB=90°，
∴△BCE是直角三角形，
∵BE=3，CE=1，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{BE}{AB}=x$，
∴$\frac{3}{AB}=x$，
∴AB=$\frac{3}{x}$，
∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC}$，
∴$\frac{AE}{\frac{3}{x}}=\frac{6}{2\sqrt{2}}$，
∴AE=$\frac{9}{\sqrt{2}x}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+BE²=AE²，
$（\frac{3}{x}）^{2}+{3}^{2}=（\frac{9}{\sqrt{2}x}）^{2}$，
解得：x₁=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{14}}{2}$（舍去）；
（3）如图2，过A作AM⊥EB，交EB的延长线于M，
∵∠ABE=135°，
∴∠ABM=180°-135°=45°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM=BM，
设AM=BM=x，则AB=BE=$\sqrt{2}$x，
在Rt△AME中，AE²=AM²+ME²，
∴${c}^{2}={x}^{2}+（\sqrt{2}x+x）^{2}$，
${x}^{2}=\frac{{c}^{2}}{4+2\sqrt{2}}$①，
∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$，
∴$\frac{\sqrt{2}x}{c}=\frac{BC}{b}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}bx}{c}$，
在Rt△BCE中，BE²=BC²+CE²，
$（\sqrt{2}x）^{2}=（\frac{\sqrt{2}bx}{c}）^{2}+{a}^{2}$，
2x²=$\frac{2{b}^{2}{x}^{2}}{{c}^{2}}$+a²，
2x²c²-2b²x²=a²，
2x²（c²-b²）=a²②，
把①代入②得：2×$\frac{{c}^{2}}{4+2\sqrt{2}}$×（c²-b²）=a²，
（2+$\sqrt{2}$）a²=c⁴-c²b²．

点评 本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是关键，并运用类比的方法，在Rt△BCE中根据勾股定理解决问题；在此题中，求线段的长时，利用勾股定理列方程或利用相似列比例式求解．