Question

如图，抛物线y=a（x-m）²+2m-2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m-1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．
（1）该抛物线的解析式为

 

（用含m的式子表示）；
（2）求证：BC∥y轴；
（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解分式方程,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,平行线的判定与性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）只需将A点坐标（0，m-1）代入y=a（x-m）²+2m-2，即可求出a值，从而得到抛物线的解析式．
（2）由点A、P的坐标可求出直线AP的解析式，从而求出点B的横坐标为-m；由点P的坐标可求出直线OP的解析式，从而求出直线OP与抛物线的交点C的横坐标为-m．由于点B、C的横坐标相同，故BC∥y轴．
（3）利用三角形的内角和定理、图形旋转的性质等知识，结合条件可以证到∠POD=∠BAO，从而可以证到△BAO∽△POD，进而得到

BO

PD

=

AO

OD

，由BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，可得：

m

2m-2

=

m-1

m

，通过解方程就可解决问题．

解答：（1）解：∵A（0，m-1）在抛物线y=a（x-m）²+2m-2上，
∴a（0-m）²+2m-2=m-1．
∴a=

1-m

m2

．
∴抛物线的解析式为y=

1-m

m2

（x-m）²+2m-2．

（2）证明：如图1，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
∵点P（m，2m-2），点A（0，m-1）．
∴

mk+b=2m-2 0+b=m-1

．
解得：

k= m-1 m b=m-1

．
∴直线PA的解析式是y=

m-1

m

x+m-1．
当y=0时，

m-1

m

x+m-1=0．
∵m＞1，
∴x=-m．
∴点B的横坐标是-m．
设直线OP的解析式为y=k′x，
∵点P的坐标为（m，2m-2），
∴k′m=2m-2．
∴k′=

2m-2

m

．
∴直线OP的解析式是y=

2m-2

m

x．
联立

y= 2m-2 m x y= 1-m m2 (x-m)2+2m-2

解得：

x=m y=2m-2

或

x=-m y=2-2m

．
∵点C在第三象限，且m＞1，
∴点C的横坐标是-m．
∴BC∥y轴．

（3）解：若点B′恰好落在线段BC′上，
设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，
则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．
∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，
∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．
∴∠PBC+∠PB'B=180°．
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO=180°．
∴∠PB′B=∠BAO．
∵PB=PB′，PC=PC′，
∴∠PB′B=∠PBB′=

180°-∠BPB′

2

，
∴∠PCC′=∠PC′C=

180°-∠CPC′

2

．
∴∠PB′B=∠PCC′．
∴∠BAO=∠PCC′．
∵点C关于直线l的对称点为C′，
∴CC′⊥l．
∵OD⊥l，
∴OD∥CC′．
∴∠POD=∠PCC′．
∴∠POD=∠BAO．
∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，
∴△BAO∽△POD．
∴

BO

PD

=

AO

OD

．
∵BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，
∴

m

2m-2

=

m-1

m

．
解得：
∴m₁=2+

2

，m₂=2-

2

．
经检验：m₁=2+

2

，m₂=2-

2

都是分式方程的解．
∵m＞1，
∴m=2+

2

．
∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+

2

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、相似三角形判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、解分式方程、三角形的内角和定理、旋转的性质、抛物线与直线的交点等知识，综合性比较强，有一定的难度．而证明∠POD=∠BAO，进而证到△BAO∽△POD是解决第3小题的关键．