Question

11．如图，BC为半⊙O的直径，D是弧CA的中点，连接OD，交AC于点F．
（1）若∠DCH=∠ABD，求证：CH为⊙O的切线；
（2）求证：CA•BC=2BD•CD；
（3）连接OE，若AE=3，CD=$2\sqrt{5}$，求AB及OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得∠BAC=∠BDC=90°，再根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得∠ABD=∠DBO，而∠DCH=∠ABD，则∠DBC=∠DCH，而∠DBC+∠BCD=90°，所以∠DCH+∠BCD=90°，于是得到OC⊥CH，所以根据切线的判定定理得到CH为⊙O的切线；
（2）由D是弧CA的中点，根据垂径定理和圆周角定理得∠DCA=∠DBC，AF=CF，则Rt△CDF∽Rt△BCD，利用相似比即可得到即结论；
（3）设CF=x，则AF=x，EF=x-3，先证明Rt△CDF∽Rt△CED，利用相似比得到（2x-3）•x=（2$\sqrt{5}$）²，整理得2x²-3x-20=0，解得x₁=4，x₂=-$\frac{5}{2}$（舍去），则CF=4，EF=1，再根据勾股定理计算出DF=2，设圆的半径为r，则OF=r-2，OC=r，然后在Rt△OCF中，由勾股定理得到（r-2）²+4²=r²，解得r=5，于是得到OF=3，则AB=2OF=6，再在Rt△OEF中，利用勾股定理计算OE．

解答 （1）证明：∵BC为半⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵D是弧CA的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠DBO，
∵∠DCH=∠ABD，
∴∠DBC=∠DCH，
而∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DCH+∠BCD=90°，即∠BCH=90°，
∴OC⊥CH，
∴CH为⊙O的切线；
（2）证明：∵D是弧CA的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，OD⊥AC，
∴∠DCA=∠DBC，AF=CF，
∴Rt△CDF∽Rt△BCD，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CF}{BD}$，
而CF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=BD•CD，
即CA•BC=2BD•CD；
（3）解：设CF=x，则AF=x，EF=x-3，
∵∠DCF=∠ECD，
∴Rt△CDF∽Rt△CED，
∴CD：CE=CF：CD，
∴CE•CF=CD²，即（2x-3）•x=（2$\sqrt{5}$）²，
整理得2x²-3x-20=0，
解得x₁=4，x₂=-$\frac{5}{2}$（舍去），
∴CF=4，EF=1，
在Rt△DCF中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=2，
设圆的半径为r，则OF=r-2，OC=r，
在Rt△OCF中，（r-2）²+4²=r²，解得r=5，
∴OF=5-2=3，
∴AB=2OF=6，
连结OE，如图，
在Rt△OEF中，OE=$\sqrt{O{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．会运用勾股定理和相似比进行几何计算．